En probabilité et statistiques, la loi gamma est une distribution de probabilité continue qui est utilisée pour modéliser des variables aléatoires positives continues. Cette loi a été initialement introduite par le mathématicien français Jacques Bernoulli en 1713, mais a été plus largement étudiée par le mathématicien allemand Adolphe Quetelet au XIXe siècle.
La fonction de densité de probabilité de la loi gamma est donnée par :
$f(x)= \frac{x^{\alpha-1}e^{-x/\beta}}{\beta^\alpha\Gamma(\alpha)}$
où $\alpha$ et $\beta$ sont des paramètres de forme et d'échelle, respectivement, et $\Gamma$ est la fonction gamma.
La loi gamma est couramment utilisée pour modéliser des phénomènes de durée, comme le temps entre les pannes d'équipement ou le temps d'attente entre les événements d'un processus de Poisson. Elle est également utilisée dans des domaines tels que l'économie, la finance, l'ingénierie et la physique.
La loi gamma présente une relation intéressante avec d'autres distributions de probabilité, telles que la distribution exponentielle, la distribution chi-carré et la distribution normale. En particulier, si $\alpha= 1$, la loi gamma devient la distribution exponentielle. Si $\alpha$ est un entier, la loi gamma devient la distribution chi-carré. Et pour des valeurs élevées de $\alpha$, la loi gamma peut être approximée par une distribution normale.
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